Moment bezwładności

Skocz do: nawigacji, szukaj
pokaż • dyskusja • 

Moment bezwładności – miara bezwładności ciała w ruchu obrotowym względem określonej, ustalonej osi obrotu. Im większy moment, tym trudniej zmienić ruch obrotowy ciała, np. rozkręcić dane ciało lub zmniejszyć jego prędkość kątową. Moment bezwładności odgrywa prawie taką samą rolę w dynamice ruchu obrotowego jak masa w dynamice ruchu postępowego, opisując relacje między momentem pędu, energią kinetyczną a prędkością kątową jak masa między pędem, energią kinetyczną a prędkością. Moment bezwładności zależy od osi obrotu ciała, a w ogólnym przypadku jest tensorem.

Moment bezwładności jako skalar

Definicja

Energia kinetyczna E punktu materialnego o masie m poruszającego się z prędkością v określa wzór:

Jeżeli punkt ten porusza się po okręgu wówczas jego energię można wyrazić w wielkościach fizycznych opisujących ruch obrotowy:

Z powyższego wynika, że moment bezwładności punktu materialnego jest iloczynem jego masy i kwadratu odległości od osi obrotu:

gdzie:

– masa punktu,
– odległość punktu od osi obrotu,
- prędkość kątowa.

Moment bezwładności ciała składającego się z punktów materialnych jest sumą momentów bezwładności wszystkich tych punktów względem obranej osi obrotu:

Moment bezwładności ciała zależy od wyboru osi obrotu, od kształtu ciała i od rozmieszczenia masy w ciele. Moment bezwładności ma wymiar . Zwykle mierzy się go w kg·m².

Dla ciał o ciągłym rozkładzie masy sumowanie we wzorze na moment bezwładności przechodzi w całkowanie. Niech ciało będzie podzielone na nieskończenie małe elementy o masach , oraz niech oznacza odległość każdego takiego elementu od osi obrotu. W takim przypadku moment bezwładności określa wzór:

gdzie całkowanie odbywa się po całej objętości ciała.

Za pomocą momentu bezwładności bryły sztywnej, obracającej się względem pewnej osi z prędkością kątową względem tej osi, można wyrazić energię kinetyczną tej bryły

Przykłady

Momenty bezwładności przykładowych brył

Rura cylindryczna

Dla rury cylindrycznej o zewnętrznym promieniu i wewnętrznym , obracającej się dookoła swej osi. Elementem masy jest powłoka cylindryczna o promieniu , grubości , długości i gęstości materiału (gęstość jest jednakowa dla całej bryły), to:

  • masa elementu: ,
  • objętość elementu: ,

skąd wynika, że

,

gdzie jest objętością cylindrycznej powłoki o masie .

Moment bezwładności cylindra względem osi wynosi:

Całkowita masa cylindra równa się iloczynowi gęstości i objętości :

czyli:

Moment bezwładności rury cylindrycznej lub pierścienia o masie , wewnętrznym promieniu oraz zewnętrznym wynosi:

względem osi cylindra.

Walec

Walec można traktować jak rurę, w której promień wewnętrzny równa się 0, czyli , zatem:

gdzie jest promieniem pełnego walca o masie .

Cienkościenna rura

Cienkościenną rurę można potraktować jako cylinder z nieskończenie cienką ścianką, czyli , zatem:

Zobacz też

Linki zewnętrzne

Charakterystyki geometryczne przekroju – wprowadzenie do liczenia momentów figur płaskich.